流体力学核心贯通课 II

2025–2026 学年第二学期

北京理工大学 空天科学与技术学院

任杰

课程安排

• 课程出勤：占总成绩10%
• 平时作业：占总成绩10%
• 大作业：占总成绩15%
• 期末考试：占总成绩65%

大作业时间安排

1. 第10周： 发布题目（5月9日）
2. 第14周： 课堂展示答辩（6月3日）
3. 第16周： 提交大作业报告和代码

第1章 基本方程及其性质

参考书

1. John D. Anderson Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications
   McGraw-Hill, 1995

2. 任玉新 陈海昕
   计算流体力学基础 清华大学出版社，2006

3. 张德良
   计算流体力学教程 高等教育出版社，2010

4. 蔡庆东
   计算流体动力学 北京大学本科生研究生专业基础课讲义，2018

真正理解 CFD 的最好方式，是自己实现数值算法并运行计算 - John D. Anderson

回忆：哪些流动具有精确解？

1. 平行剪切流（Couette Flow）

两平行平板之间的粘性流体流动，其中：

• 下壁面静止（或以恒定速度运动）
• 上壁面以恒定速度运动
• 压力梯度为零
• 控制方程：

\[ \frac{d^2 u}{dy^2}=0 \]

• 线性速度分布

2. 平板泊肃叶流（Plane Poiseuille Flow）

回忆：哪些流动具有精确解？

3. 圆管泊肃叶流（Hagen–Poiseuille Flow）

\[ -\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} +\mu \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left(r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\right)=0 \]

这些精确解有什么共同特点？

回顾：计算流体力学

在现代科学与工程中，流体力学问题通常具有以下特点：

• 几何结构复杂
• 控制方程高度非线性
• 伴随多种物理过程（湍流、化学反应、相变等）

这些问题往往无法通过解析方法求解，因此需要借助计算方法进行研究。

计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）是利用数值方法与计算机技术求解流体力学控制方程的一门学科。

其核心思想是通过数值离散的方法，将连续的偏微分方程转化为可在计算机上求解的代数方程组，从而获得流场中的速度、压力、温度等物理量分布。

回顾：计算流体力学

回顾：计算流体力学

流体力学研究的三种方法

在流体力学的发展过程中，主要形成了三种互补的研究方法：

1. 理论分析（Theoretical Analysis）
   通过数学方法对流动方程进行解析求解，从而揭示基本物理规律。

2. 实验研究（Experimental Methods）
   通过风洞、水槽等实验装置直接测量流动现象。

3. 数值模拟（Computational Methods）
   通过计算机求解流体控制方程，获得流动的详细信息。

传统上，理论与实验构成流体力学研究的两大支柱。然而随着计算机技术的发展，计算方法逐渐成为第三种重要研究手段。

因此，在现代工程实践中，流体问题通常通过 理论、实验与计算三者结合 的方式进行研究。

CFD在工程中的作用：NASA 阿尔忒弥斯2号（Artemis II）火箭

CFD在工程中的作用：NASA 阿尔忒弥斯2号（Artemis II）火箭

CFD在工程中的作用

随着计算能力的迅速提升，CFD 已成为工程设计和科学研究中的重要工具。典型应用包括：

• 航空航天
  • 飞机气动设计、再入气动加热、火箭喷流
• 汽车工程
  • 车辆气动性能、发动机燃烧
• 能源系统
  • 燃气轮机、核反应堆冷却
• 环境工程
  • 大气污染扩散、城市风环境

CFD在工程中的作用 ❶

方程式赛车的CFD模拟

CFD在工程中的作用 ❶

CFD在工程中的作用 ❷

Porsche 911的DES模拟

CFD在工程中的作用 ❸

埃菲尔铁塔的DDES和URANS模拟

CFD在工程中的作用 ❹

旋翼无人机叶片启动过程的数值模拟

CFD在工程中的作用 ❺

风力发电场的数值模拟

CFD在工程中的作用 ❺

CFD在工程中的作用 ❻

数值模拟旋转爆轰发动机非预混喷注系统

CFD在工程中的作用 ❼

超音速喷流的数值模拟

CFD在工程中的作用 ❽

大型鱼群的集体行为

CFD在工程中的作用 ❾

湍流边界层数值模拟

CFD在工程中的作用 ❿

超音速圆柱阵列流动数值模拟

CFD在工程中的作用 ❿

CFD在工程中的作用 ⓫

CFD 的一个重要优势是可以提供完整的流场信息，例如

• 速度场、压力场、温度场（这些信息在实验中往往难以全部获得）

• 流体力学界的“视觉大片发布会”（APS主办，每年一届）
  
• 全球科研团队参赛，比的不只是理论，更重要的是“谁的更好看”
  
• 评审标准：既要科学过硬，也要颜值在线
  
• 优秀作品将获得 Milton Van Dyke Award / Gallery Winner（相当于流体界“奥斯卡”）

1.1 控制方程 ❶

连续方程（Continuity Equation）

实体形式（向量形式）：

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0 \]

笛卡尔坐标系分量形式（Einstein 求和约定）：

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u_i)}{\partial x_i}=0\]

不可压缩流体（\(\rho=\text{const}\)）：

\[ \frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0 \]

1.1 控制方程 ❷

Einstein 求和约定（Einstein Summation Convention）

在指标记号中，如果某个指标在同一项中 重复出现两次，则默认对该指标在所有空间方向求和，而不必显式写出求和符号 \(\sum\)。

1.1 控制方程 ❸

动量方程（Momentum Conservation）

\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}\mathbf{u}) = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \rho \mathbf{f} \]

笛卡尔坐标系分量形式为

\[\frac{\partial (\rho u_i)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u_i u_j)}{\partial x_j}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j}+\rho f_i\]

对于牛顿流体，

\[\tau_{ij}=\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)-\frac{2}{3}\mu\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\delta_{ij}\]

• \(\tau_{ij}\) 为粘性应力张量，其中 \(\delta_{ij}\) 为 Kronecker delta

• 为何会出现 \(2/3\) ？

1.1 控制方程 ❹

Stokes 假设

各向同性牛顿流体中，黏性应力与速度梯度线性相关：

\[ \tau_{ij} = 2\mu S_{ij} + \lambda (\nabla \cdot \mathbf{u}) \delta_{ij} \]

其中

\[ S_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) \]

• \(\mu\)：剪切黏度
  
• \(\lambda\)：体黏度（第二黏度）
• Stokes 假设：\(\lambda = -\frac{2}{3}\mu\)

1.1 控制方程 ❺

Stokes 假设

关键要求：黏性应力不包含各向同性部分（由压力单独承担）

应力分解

\[ \sigma_{ij} = -p\delta_{ij} + \tau_{ij} \]

• \(-p\delta_{ij}\)：各向同性压力
  
• \(\tau_{ij}\)：偏差应力（粘性应力，仅描述形变）

👉 单位张量 \(\delta_{ij}\) 是唯一各向同性二阶张量，其强度由“迹”决定

1.1 控制方程 ❻

Stokes 假设

\[ \boldsymbol{\tau}=\begin{bmatrix} 2\mu\dfrac{\partial u}{\partial x}+\lambda\nabla\cdot\mathbf{u} & \mu\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial v}{\partial x}\right) & \mu\left(\dfrac{\partial u}{\partial z}+\dfrac{\partial w}{\partial x}\right)\\[1.0em] \mu\left(\dfrac{\partial v}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial y}\right) & 2\mu\dfrac{\partial v}{\partial y}+\lambda\nabla\cdot\mathbf{u} & \mu\left(\dfrac{\partial v}{\partial z}+\dfrac{\partial w}{\partial y}\right)\\[1.0em] \mu\left(\dfrac{\partial w}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial z}\right) & \mu\left(\dfrac{\partial w}{\partial y}+\dfrac{\partial v}{\partial z}\right) & 2\mu\dfrac{\partial w}{\partial z}+\lambda\nabla\cdot\mathbf{u} \end{bmatrix} \]

其迹为： \[ \tau_{kk} = (2\mu + 3\lambda)(\nabla \cdot \mathbf{u}) \]

Stokes 假设令

\[ \tau_{kk} = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{2}{3}\mu \]

1.1 控制方程 ❼

能量方程（Energy Conservation）

\[ \frac{\partial (\rho E)}{\partial t} + \nabla \cdot \left[(\rho E + p)\mathbf{u}\right] = \nabla \cdot (\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{u}) - \nabla \cdot \mathbf{q} + \rho \mathbf{f}\cdot\mathbf{u} \]

分量形式

\[ \frac{\partial (\rho E)}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[(\rho E+p)u_j\right]=\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\tau_{ij}u_i\right)-\frac{\partial q_j}{\partial x_j}+\rho f_i u_i \]

其中

• \(E\) 表示什么？

1.1 控制方程 ❽

CFD常用守恒形式方程

在计算流体力学中，三大守恒律通常写成统一形式：

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}_v + \mathbf{S} \]

对于三维可压缩流

\[ \mathbf{U}= \begin{bmatrix} \rho\\ \rho u_1\\ \rho u_2\\ \rho u_3\\ \rho E \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{F}_j= \begin{bmatrix} \rho u_j\\ \rho u_1u_j+p\delta_{1j}\\ \rho u_2u_j+p\delta_{2j}\\ \rho u_3u_j+p\delta_{3j}\\ (\rho E+p)u_j \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{F}_{v,j}= \begin{bmatrix} 0\\ \tau_{1j}\\ \tau_{2j}\\ \tau_{3j}\\ \tau_{ij}u_i-q_j \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{S}= \begin{bmatrix} 0\\ \rho f_1\\ \rho f_2\\ \rho f_3\\ \rho f_i u_i \end{bmatrix} \]

其中

• 热流：\(q_j=-\kappa\frac{\partial T}{\partial x_j}\).

• \((\nabla \cdot \mathbf{F})=\frac{\partial F_{k j}}{\partial x_j}\)，\(k=1,\dots,5\)（方程编号），\(j=1,2,3\)（空间方向）

1.1 控制方程 ❾

守恒形式方程的意义

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}_v + \mathbf{S} \]

该统一形式具有三个重要特点：

• 守恒性：适用于有限体积法
  
• 统一结构：三大方程可同时离散
  
• 便于构造数值通量：如Riemann求解器、Godunov方法等

因此这是 现代CFD代码（OpenFOAM、SU2、Fluent等）普遍采用的基本方程形式。

1.1 控制方程 ❿

评注

1.1 控制方程 ⓫

CFD的基本步骤

1. 建立物理模型
   

2. 写出控制方程（Navier–Stokes 方程等）

3. 给定初始条件与边界条件
   

4. 对方程进行数值离散
   

5. 求解离散方程组
   

6. 对计算结果进行分析与验证

1.1 控制方程 ⓬

CFD中常用的分量形式方程（常用、重要）

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x}+\frac{\partial \mathbf{G}}{\partial y}+\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial z}= \mathbf{J} \]

1.1 控制方程 ⓭

CFD中常用的分量形式方程

x方向通量（Flux in x）

\[ \mathbf{F}= \begin{bmatrix} \rho u\\ \rho u^2 + p - \tau_{xx}\\ \rho uv - \tau_{xy}\\ \rho uw - \tau_{xz}\\ \rho u\left(e+\frac{V^2}{2}\right) + pu - q_x - u\tau_{xx} - v\tau_{xy} - w\tau_{xz} \end{bmatrix} \]

y方向通量（Flux in y）

\[ \mathbf{G}= \begin{bmatrix} \rho v\\ \rho uv - \tau_{yx}\\ \rho v^2 + p - \tau_{yy}\\ \rho vw - \tau_{yz}\\ \rho v\left(e+\frac{V^2}{2}\right) + pv - q_y - u\tau_{yx} - v\tau_{yy} - w\tau_{yz} \end{bmatrix} \]

1.1 控制方程 ⓮

CFD中常用的分量形式方程

z方向通量（Flux in z）

\[ \mathbf{H}= \begin{bmatrix} \rho w\\ \rho uw - \tau_{zx}\\ \rho vw - \tau_{zy}\\ \rho w^2 + p - \tau_{zz}\\ \rho w\left(e+\frac{V^2}{2}\right) + pw - q_z - u\tau_{zx} - v\tau_{zy} - w\tau_{zz} \end{bmatrix} \]

源项（Source Term）

\[ \mathbf{J}= \begin{bmatrix} 0\\ \rho f_x\\ \rho f_y\\ \rho f_z\\ \rho(f_x u + f_y v + f_z w) + \dot{q} \end{bmatrix} \]

1.1 控制方程 ⓯

CFD真正求解的变量

1.2 激波问题 ❶

激波处：守恒量 vs 通量的连续性

• 守恒量一般不连续
  
• 通量是连续的（满足守恒律）

守恒量在激波处

• 密度 \(\rho\) ❌ 不连续
  
• 速度 \(u\) ❌ 不连续
  
• 压力 \(p\) ❌ 不连续
  
• 温度 \(T\) ❌ 不连续

👉 激波本质就是不连续面

1.2 激波问题 ❷

通量（F）在激波处

以一维为例：

质量守恒：

\[ \rho_1 u_1 = \rho_2 u_2 \]

动量守恒：

\[ \rho_1 u_1^2 + p_1 = \rho_2 u_2^2 + p_2 \]

能量守恒：

\[ \rho_1 u_1\left(e_1 + \frac{u_1^2}{2}\right) + p_1 u_1= \rho_2 u_2\left(e_2 + \frac{u_2^2}{2}\right) + p_2 u_2 \]

👉 本质上：

\[ F(U_1) = F(U_2) \]

✔ 即：通量在激波两侧相等（连续）

1.2 激波问题 ❸

为什么会这样？

守恒形式积分后：

\[ \frac{d}{dx}F(U)=0 \quad \Rightarrow \quad F = \text{常数} \]

• 激波虽是“跳跃”，但： 守恒律必须成立
• 守恒量：可以“跳变”（状态改变）
  
• 通量：必须“守恒”（流量不丢失）

👉 类比：

• 水密度可以变，但单位时间通过的质量必须一样
  
• 激波是“状态不连续”，但“通量连续”
• 这正是守恒形式在CFD中如此重要的根本原因

1.2 激波问题 ❹

介绍：两种激波处理思路

Shock Capturing（激波捕捉）

• 激波自然形成
  
• 简单，但有数值扩散

Shock Fitting（激波装配）

• 显式追踪激波
  
• 精确，但复杂

1.3 边界条件

边界条件的作用

• 决定控制方程的具体解
  
• 是流动问题的“真正驱动力”
  
• CFD中：边界条件处理至关重要

1.3 边界条件

边界条件举例

1.4 偏微分方程的数学性质 ❶

核心问题

• PDE 为什么要分类？
• 不同类型 PDE 有什么物理意义？
• 为什么 CFD 数值方法必须“因方程而异”？

👉 核心结论：

• 方程的数学类型 = 流动的信息传播方式
• 适配的数值求解策略取决于方程类型

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

考虑一阶拟线性方程组

对于二阶偏微分方程（组） ，可以通过降阶的方法化为一阶拟线性方程组。

\[ a_1 \frac{\partial u}{\partial x} + b_1 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_1 \frac{\partial v}{\partial x} + d_1 \frac{\partial v}{\partial y} = f_1 \]

\[ a_2 \frac{\partial u}{\partial x} + b_2 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_2 \frac{\partial v}{\partial x} + d_2 \frac{\partial v}{\partial y} = f_2 \]

定义全微分：

\[ du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy \]

\[ dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

方程组的矩阵形式

方程组 \[ a_1 \frac{\partial u}{\partial x} + b_1 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_1 \frac{\partial v}{\partial x} + d_1 \frac{\partial v}{\partial y} = f_1 \]

\[ a_2 \frac{\partial u}{\partial x} + b_2 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_2 \frac{\partial v}{\partial x} + d_2 \frac{\partial v}{\partial y} = f_2 \]

写为矩阵形式：

\[ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ dx & dy & 0 & 0 \\ 0 & 0 & dx & dy \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_1 \\f_2 \\du \\dv \end{bmatrix} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

使用 Cramer 法则，令

\[ [A] =\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ dx & dy & 0 & 0 \\ 0 & 0 & dx & dy \end{bmatrix} \]

将第一列替换为右端项：

\[ [B] = \begin{bmatrix} f_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ f_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ du & dy & 0 & 0 \\ dv & 0 & dx & dy \end{bmatrix} \]

则：

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{|B|}{|A|} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

Cramer 法则（克莱默法则）回顾

对于线性方程组：

\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]

适用条件

• 系数矩阵 \(A\) 必须是方阵
• \(\det(A) \ne 0\)（行列式不为 0）

例如二元方程组

\[ \begin{cases} a_{11} x + a_{12} y = b_1 \\ a_{21} x + a_{22} y = b_2 \end{cases} \]

系数行列式

\[ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

Cramer 法则（克莱默法则）回顾

分别替换列

👉 求 \(x\)：把第1列换成右端列向量

\[ D_x = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} \]

👉 求 \(y\)：把第2列换成右端列向量

\[ D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} \]

直接得到解

\[ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

Cramer 法则（克莱默法则）回顾

• 原方程组的信息 → 全部在行列式 \(D\)
• 想求某个变量 → 用“常数列替换对应列”
• 每个变量 = “替换后的行列式” ÷ “原行列式”

优点

• 公式直接，适合理解理论
• 小规模（2×2、3×3）很方便

缺点

• 计算量大（不适合大规模）
• 数值计算中几乎不用（更常用高斯消元）

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

几何意义

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

几何意义

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

特征线的定义

👉 当：

\[ |A| = 0 \]

对应方向：特征方向（Characteristic direction）

对应曲线：特征线（Characteristic curve）

物理含义

在特征线上：

• 导数无法确定（indeterminate）
• 解可能出现：
  • 不连续
  • 奇异性

👉 本质：PDE 在该方向上“退化”

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

为了得到特征方向和特征线，展开行列式：

\[ |A|=(a_1c_2 - a_2c_1)(dy)^2- (a_1d_2 - a_2d_1 + b_1c_2 - b_2c_1) dx\,dy+ (b_1d_2 - b_2d_1)(dx)^2 = 0 \]

令 \[ a = (a_1c_2 - a_2c_1), \quad b = - (a_1d_2 - a_2d_1 + b_1c_2 - b_2c_1), \quad c = (b_1d_2 - b_2d_1) \] 得到 \[ a \left(\frac{dy}{dx}\right)^2+ b \left(\frac{dy}{dx}\right)+ c = 0 \]

判别式：

\[ D = b^2 - 4ac \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

• \(D > 0\)：两条特征线、双曲型（Hyperbolic）
• \(D = 0\)：一条特征线、抛物型（Parabolic）
• \(D < 0\)：零条特征线、椭圆型（Elliptic）

物理本质对比

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

对于一般二阶偏微分方程：

\[ a \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+ b \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y}+ c \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+ \text{(低阶项)} = 0 \]

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

• \(\Delta < 0\)：椭圆型（elliptic）
• \(\Delta = 0\)：抛物型（parabolic）
• \(\Delta > 0\)：双曲型（hyperbolic）

1.4 偏微分方程的数学性质 ❸

特征值方法（Eigenvalue Method）

方程组 \[ a_1 \frac{\partial u}{\partial x} + b_1 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_1 \frac{\partial v}{\partial x} + d_1 \frac{\partial v}{\partial y} = f_1 \]

\[ a_2 \frac{\partial u}{\partial x} + b_2 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_2 \frac{\partial v}{\partial x} + d_2 \frac{\partial v}{\partial y} = f_2 \]

为简化分析，令\(f_1=f_2=0\)，写为向量形式：

\[ [K]\frac{\partial W}{\partial x} + [M]\frac{\partial W}{\partial y} = 0 \]

其中：

• \([K], [M]\)：\(2\times2\) 系数矩阵；\(W = \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\)

1.4 偏微分方程的数学性质 ❸

特征值方法（Eigenvalue Method）

左乘 \([K]^{-1}\)，令 \([N] = [K]^{-1}[M]\)

\[ \frac{\partial W}{\partial x} + [N]\frac{\partial W}{\partial y} = 0 \]

👉 方程类型由矩阵 \(N\) 的特征值决定

\[ |N - \lambda I| = 0 \]

判定规则

（证明见 Whitham, Gerald Beresford. Linear and nonlinear waves. John Wiley & Sons, 2011.）

• 特征值不重根 → 双曲型
• 特征值实数域无解（全为复数） → 椭圆型
• 特征值重根 → 抛物型

1.4 偏微分方程的数学性质 ❹

特征线的意义

考虑一般形式的有两个自变量的拟线性方程，其分量形式为：

\[ b_{ij}\frac{\partial u_j}{\partial t}+ a_{ij}\frac{\partial u_j}{\partial x}= c_i, \quad \]

其中，\(t, x\) 可以是时间和空间变量，也可以是其他任意具有物理意义的自变量。

设 \((x,t)\) 平面上的曲线可表示为参数方程：

\[ \Gamma: \begin{cases} \displaystyle \frac{dx}{ds} = \lambda_x \\ \displaystyle \frac{dt}{ds} = \lambda_t \end{cases} \]

其中 \(s\) 为参数，\((\lambda_x,\lambda_t)\) 为曲线的切向量。只要 \(\lambda_x\) 和 \(\lambda_t\) 的比值一定，切线的方向就不会发生变化，曲线的形状也是确定的。

1.4 偏微分方程的数学性质 ❹

特征线的意义

任意物理量 \(\phi\) 沿曲线 \(\Gamma\) 的方向导数为：

\[ \frac{d\phi}{ds}= \frac{\partial \phi}{\partial t}\frac{dt}{ds}+ \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{ds}= \lambda_t \frac{\partial \phi}{\partial t}+ \lambda_x \frac{\partial \phi}{\partial x} \]

如果对于方程

\[ b_{ij}\frac{\partial u_j}{\partial t}+ a_{ij}\frac{\partial u_j}{\partial x}= c_i, \quad \]

选择合适的曲线 \(\Gamma\)，使得方程可以变换为仅包含沿 \(\Gamma\) 的方向导数，则该曲线称为：

特征线（characteristic curve）

1.4 偏微分方程的数学性质 ❹

特征线的意义

对应的方程称为：

特征相容关系（characteristic compatibility equation）

示例：一维线性对流方程

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \]

沿 \(\Gamma\)：

\[ \frac{du}{ds}= \lambda_t \frac{\partial u}{\partial t}+ \lambda_x \frac{\partial u}{\partial x} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❹

特征线的意义

当取：

\[ \lambda_t = 1,\quad \lambda_x = a \]

得到：

\[ \frac{du}{ds} = 0 \]

原方程退化为常微分方程，称为特征线上的特征相容关系

同时，

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{\lambda_x}{\lambda_t} = a \]

称为特征线

1.4 偏微分方程的数学性质 ❹

特征线的意义

沿特征线：

\[ u|_\Gamma = \text{const} \]

若初始条件为：

\[ u(x,0) = u_0(x) \]

我们可以导出 \(\frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0\) 的解析解为

\[ u(x,t) = u_0(x - at) \]

• 从时空任一点出发都可以画出特征线
• 沿着特征线 \(\Gamma: \frac{dx}{dt} = \frac{\lambda_x}{\lambda_t} = a\)
• \(u|_\Gamma = \text{const}\) 函数值本身不变
• 只是在“平移”（它只是把初始条件“搬运”了一遍）

1.4 偏微分方程的数学性质 ❹

特征线的意义

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

\[ u_{tt} = a^2 u_{xx} \]

转化为一阶系统，引入变量：

\[ v = u_t, \quad w = u_x \]

则原方程可写为：

\[ \begin{cases} v_t = a^2 w_x \\ w_t = v_x \end{cases} \]

写成守恒形式：

\[ \mathbf{U}_t + A \mathbf{U}_x = 0 \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

\[ \mathbf{U}_t + A \mathbf{U}_x = 0 \]

其中：

\[ \mathbf{U} = \begin{bmatrix} v \\ w \end{bmatrix}, \qquad A = \begin{bmatrix} 0 & -a^2 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \]

求特征值：

\[ \det(A - \lambda I) = 0 \Longrightarrow \lambda^2 - a^2 = 0 \Longrightarrow \lambda_1 = a, \quad \lambda_2 = -a \]

👉 双曲型方程

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

考虑一维双曲型方程的一阶形式：

\[ \mathbf{U}_t + A \mathbf{U}_x = 0 \]

在 \(x\text{-}t\) 平面上取一条曲线 \(\Gamma\)：

\[ \displaystyle \frac{dx}{ds} = \lambda_x, \quad \displaystyle \frac{dt}{ds} = \lambda_t, \quad \frac{dx}{dt} = \frac{\lambda_x}{\lambda_t} \]

沿该曲线的方向导数为（链式法则）：

\[ \frac{d\mathbf{U}}{ds}=\frac{dt}{ds}\left(\mathbf{U}_t + \mathbf{U}_x\frac{dx}{dt}\right) \]

代入原方程

\[ \frac{d\mathbf{U}}{ds}=\frac{dt}{ds}\left(-A + \frac{dx}{dt} I\right)\mathbf{U}_x \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

特征线的意义：希望找到某条曲线，使得在这条曲线上，系统行为退化

设：

\[ \frac{dx}{dt} = \lambda \]

则有：

\[ \frac{d\mathbf{U}}{ds}=\frac{dt}{ds}(\lambda I - A)\mathbf{U}_x \]

若存在非零向量 \(\mathbf{r}\)，满足：

\[ A \mathbf{r} = \lambda \mathbf{r} \]

则对于矩阵 \(A\)， \(\lambda\) 为特征值，\(\mathbf{r}\) 为特征向量

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

投影到特征方向，定义标量：

\[ W = \mathbf{r}^T \mathbf{U} \]

沿曲线求导：

\[ \frac{dW}{ds}= \mathbf{r}^T \frac{d\mathbf{U}}{ds}= \mathbf{r}^T \frac{dt}{ds}(\lambda I - A)\mathbf{U}_x \]

利用：

\[ \mathbf{r}^T A = \lambda \mathbf{r}^T \]

得到：

\[ \frac{dW}{ds} = 0 \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

当且仅当：

\[ \frac{dx}{dt} = \lambda \]

时：

• 存在变量 \(W\)
• 在该曲线上保持不变
• 在特征线方向：系统退化为 ODE

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

\[ u_{tt} = a^2 u_{xx} \]

根据矩阵 \(A\) 的特征值分析，得到两族特征线：

\[ \frac{dx}{dt} = \pm a \]

积分：

\[ x - at = C_1, \quad x + at = C_2 \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

\[ u_{tt} = a^2 u_{xx} \qquad 若给定初始条件：\begin{cases} u(x,0) = f(x) \\ u_t(x,0) = g(x) \end{cases} \]

解析解（达朗贝尔解）

\[ u(x,t) = \frac{1}{2} \left[f(x+at) + f(x-at)\right]+ \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} g(\tau)\, d\tau \]

表示：

• \(f(x-at)\)：向右传播的波
  
• \(g(x+at)\)：向左传播的波

👉 波形保持不变，只是平移

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

👉 本质关系： 解析解 = 沿特征线传播的不变量叠加

回顾：变上、下限积分求导公式

\[ F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} h(\tau)\,d\tau, \]

则有

\[ \frac{d}{dx}F(x)= h\bigl(\beta(x)\bigr)\beta'(x)- h\bigl(\alpha(x)\bigr)\alpha'(x). \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

记

\[ I(x,t)=\int_{x-at}^{x+at} g(\tau)\,d\tau. \]

则对 \(t\) 求导时，

\[ \frac{\partial I}{\partial t}= g(x+at)\cdot a - g(x-at)\cdot(-a)= a\,g(x+at)+a\,g(x-at). \]

对 \(x\) 求导时，

\[ \frac{\partial I}{\partial x}= g(x+at)\cdot 1 - g(x-at)\cdot 1= g(x+at)-g(x-at). \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

解析解（达朗贝尔解）验证：

\[ u(x,t) = \frac{1}{2} \left[f(x+at) + f(x-at)\right]+ \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} g(\tau)\, d\tau \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

第一项

\[ \frac{1}{2}[f(x+at)+f(x-at)] \]

表示初始位移 \(f(x)\) 分裂成两个波：

• 一个向右传播，一个向左传播；
• 解只与区间 \([x-at,\;x+at]\) 内的初始信息有关。

第二项：表示初始速度 \(g(x)\) 对后续解的贡献，在依赖域和影响域内发挥作用。 \[ \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}g(\tau)\,d\tau \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

假设你站在图中的点 \(P\)，面向 \(x\) 正方向：

• 向左转头看到的那条特征线 → 左行特征线
  
• 向右转头看到的那条特征线 → 右行特征线

这些特征线的一个重要意义在于：

👉 区域 I 被称为点 \(P\) 的影响域（Region of Influence）

• 如果在点 \(P\) 施加一个微小扰动
  
• 该扰动只会传播到图中区域 I 内的所有点
  
• 而不会影响区域 I 之外的区域

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

示例：一维波动方程（\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)）

👉 区域 III 被称为点 \(P\) 的依赖域（Domain of Dependence）

现在将通过点 \(P\) 的两条特征线向后延伸，直到与 \(y\) 轴相交：

• 在 \(y\) 轴上截得区间 \(ab\)
• 在 \(y\) 轴（\(x=0\)）上给定边界条件（如 \(u, v\) 已知），则可以从该边界出发，沿 \(x\) 方向逐步推进（marching）求解

👉 典型的双曲型方程

• 定常无粘超声速流动
• 非定常无粘流动（几乎等同于实际问题）

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

示例：一维热传导方程

\[ \frac{\partial u}{\partial t}=\gamma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\qquad \gamma>0. \]

引入新变量

\[ g=\frac{\partial u}{\partial x}. \]

得到一阶方程组

\[ \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}-g=0,\\[1.0ex] \dfrac{\partial g}{\partial x}-\dfrac{1}{\gamma}\dfrac{\partial u}{\partial t}=0. \end{cases} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

示例：一维热传导方程

得到一阶方程组

\[ \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}-g=0,\\[1.0ex] \dfrac{\partial g}{\partial x}-\dfrac{1}{\gamma}\dfrac{\partial u}{\partial t}=0. \end{cases} \]

把它写成矩阵形式：

\[ \frac{\partial}{\partial x}\begin{pmatrix}u\\g\end{pmatrix}+B\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}u\\g\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}, \]

其中

\[ B= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ -\dfrac{1}{\gamma} & 0 \end{pmatrix}. \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

示例：一维热传导方程

对于上述一阶系统，其特征方程为

\[ \left|\lambda I-B\right|=0. \]

代入矩阵 \(B\)：

\[ \lambda I-B=\begin{pmatrix} \lambda & 0\\[0.5ex] \dfrac{1}{\gamma} & \lambda \end{pmatrix} \Longrightarrow \left|\lambda I-B\right|=\begin{vmatrix} \lambda & 0\\[0.5ex] \dfrac{1}{\gamma} & \lambda \end{vmatrix}=\lambda^2. \]

故特征值为

\[ \lambda_1=\lambda_2=0 \Rightarrow {\text{原方程为抛物型方程}} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

抛物型方程

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

抛物型方程

一维热传导方程的解析解

\[ \frac{\partial u}{\partial t}=\gamma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \qquad \gamma>0, \qquad -\infty<x<\infty,\ t>0 \]

其中初始条件为

\[ u(x,0)=u_0(x) \]

解析解：

\[ u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi \gamma t}} \exp\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4\gamma t}\right) u_0(\xi)\,d\xi \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

抛物型方程

\[ u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi \gamma t}} \exp\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4\gamma t}\right) u_0(\xi)\,d\xi \]

该公式表明：

• 时刻 \(t\) 的温度 \(u(x,t)\) 由整个初始温度分布 \(u_0(\xi)\) 共同决定
• 距离 \(x\) 越近的初值点，对 \(u(x,t)\) 的贡献越大
• 距离越远，贡献越小，但不为零

因此，热传导方程的依赖域和影响域是整个空间 \(x\)，而不是有限区间。

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

抛物型方程

若初始条件取为 Dirac 函数

\[ u(x,0)=\delta(x) \]

则解就是基本解本身：

\[ u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi \gamma t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4\gamma t}\right) \]

这表示热量从一点出发，随时间扩散成越来越宽、越来越平缓的高斯分布。

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

抛物型方程

若初始条件为

\[ u(x,0)=\sin(kx) \]

则解析解为

\[ u(x,t)=e^{-\gamma k^2 t}\sin(kx) \]

这个解说明：

• 空间形状保持为 \(\sin(kx)\)，但振幅按指数规律衰减：

\[ e^{-\gamma k^2 t} \]

• 并且波数 \(k\) 越大，衰减越快。
• 热扩散会更快地抹平小尺度、高频率的温度起伏。

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

联想：瓷器的烧制

瓷器之所以光滑，是因为在高温下经历了“熔融 + 流动 + 表面张力重排 + 冷却固化”的过程，本质上是材料在向“最低表面能状态”演化。

👉 这个过程可以类比：

• 热传导方程 → 抹平温度梯度
• 烧结过程 → 抹平几何粗糙度

👉 本质：

系统总是趋向更平滑、更均匀、更稳定的状态

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

1.4 偏微分方程的数学性质 ❼

示例：Laplace方程

对于二阶偏微分方程（组），可以通过降阶的方法，化为一阶拟线性方程组，再利用系数矩阵的特征值来判断方程性质。下面以二维 Laplace 方程为例说明。

\[ \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}=0. \]

令

\[ u=\frac{\partial \Phi}{\partial x}, \qquad v=\frac{\partial \Phi}{\partial y}. \]

则原方程可写为

\[ \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=0,\\[1.0ex] \dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}=0. \end{cases} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❼

示例：Laplace方程

令

\[ \mathbf{U}= \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}, \qquad A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

则上述方程组可以写成矩阵形式

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x} + A\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial y} =0. \]

现在考察矩阵 \(A\) 的特征值。由特征方程

\[ \det(A-\lambda I)=0 \]

可得

\[ \det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\-1 & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2+1=0. \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❼

示例：Laplace方程

因此特征值为

\[ \lambda_{1,2}=\pm i. \]

根据特征值方法判定：特征值为复数，因此 Laplace 方程是 椭圆型方程。

评注

• 双曲型方程的一个重要特征是存在实特征方向，信息会沿某些真实方向传播，例如波动方程。
• 而 Laplace 方程对应的特征值是复数，说明它没有实特征线。这意味着它不是“传播型”问题，而更像一种“整体平衡型”问题：某一点的解会受到周围区域整体状态的共同影响。
• 这正是椭圆型方程的典型特征。无法推进求解，需整体求解。

1.4 偏微分方程的数学性质 ❽

示例：二维无旋可压流

线性化后方程：

\[ (1 - M_\infty^2)\frac{\partial u'}{\partial x} + \frac{\partial v'}{\partial y} = 0 \]

\[ \frac{\partial u'}{\partial y} - \frac{\partial v'}{\partial x} = 0 \]

写成矩阵形式

\[ [K] = \begin{bmatrix} 1 - M_\infty^2 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad [M] = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

\[ [N] = [K]^{-1}[M] =\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{1 - M_\infty^2} \\-1 & 0\end{bmatrix} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❽

求特征值

\[ |[N] - \lambda [I]| = 0 \]

展开：

\[ \lambda^2 + \frac{1}{1 - M_\infty^2} = 0 \Rightarrow \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{M_\infty^2 - 1}} \]

• ✔ 超声速（\(M_\infty > 1\)）：\(\lambda\) 为实数、两条特征线、👉 双曲型（Hyperbolic）
• ✔ 亚声速（\(M_\infty < 1\)）：\(\lambda\) 为虚数、无实特征线、👉 椭圆型（Elliptic）
• 特征值 = 特征线斜率
• 流动类型由马赫数决定
  • 超声速 → 信息沿特征线传播（有方向性）
  • 亚声速 → 信息全局耦合

1.4 偏微分方程的数学性质 ❽

特征值方法总结

① 写成矩阵形式
② 构造 \([N] = [K]^{-1}[M]\)
③ 求特征值
④ 判定类型

评注

• 实际问题中： 特征值可能既有实数又有复数
• 此时系统呈现： 👉 混合型（Mixed type）
• 典型例子：跨声速流动（Transonic flow）

👉 结论：PDE 分类并非总是“纯类型”

1.4 偏微分方程的数学性质 ❾

示例：一维欧拉方程

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x}=0. \]

其中守恒变量与通量分别为

\[ \mathbf{U}=\begin{pmatrix} \rho\\ \rho u\\ \rho E \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{F}=\begin{pmatrix} \rho u\\ \rho u^2+p\\ (\rho E+p)u \end{pmatrix}. \]

• \(\rho\) 为密度；
• \(u\) 为速度；
• \(p\) 为压强；
• \(E\) 为总能；

1.4 偏微分方程的数学性质 ❾

示例：一维欧拉方程

由于通量 \(\mathbf{F}\) 是守恒变量 \(\mathbf{U}\) 的函数，即

\[ \mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{U}), \]

故由链式法则有

\[ \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x}=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{U}} \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x}. \]

记 Jacobi 矩阵

\[ A=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{U}}, \]

则 Euler 方程可写成拟线性形式

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + A\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x} =0. \]

这就是用特征值方法分析方程性质的标准出发点。

1.4 偏微分方程的数学性质 ❾

示例：一维欧拉方程

对理想气体状态方程，

\[ p=(\gamma-1)\left(\rho E-\frac{1}{2}\rho u^2\right), \]

可得到 Jacobi 矩阵

\[ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[1ex] \dfrac{\gamma-3}{2}u^2 & (3-\gamma)u & \gamma-1\\[1ex] (\gamma-1)u^3-\gamma uE & \gamma E-\dfrac{3}{2}(\gamma-1)u^2 & \gamma u \end{pmatrix}. \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❾

示例：一维欧拉方程

特征值由特征方程

\[ |A-\lambda I|=0 \]

确定。

对上面的矩阵求解后，可以得到三个特征值：

\[ \lambda_1=u-a,\qquad \lambda_2=u,\qquad \lambda_3=u+a, \]

其中

\[ a=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} \]

为局部音速。

1.4 偏微分方程的数学性质 ❾

示例：一维欧拉方程

可以看到，一维 Euler 方程的三个特征值

\[ u-a,\qquad u,\qquad u+a \]

在物理上都是实数，只要

\[ \rho>0,\qquad p>0, \]

则音速 \(a\) 为实数，因此三个特征值都是实数。

并且在一般情形下，这三个特征值互不相同，因此矩阵 \(A\) 有三个线性无关特征向量。

这说明该方程组满足：

• 特征值全为实数；
• 有完整的特征向量组。

因此，一维 Euler 方程属于 双曲型方程组.

1.4 偏微分方程的数学性质 ❾

示例：一维欧拉方程

评注

这三个特征值分别对应三类扰动传播速度：

（1）\(\lambda_1=u-a\)

表示一个以相对流体速度 \(-a\) 传播的波，在固定坐标系中其传播速度为 \(u-a\) 对应左行声波。

（2）\(\lambda_2=u\)

表示与流体质点一起运动的扰动，传播速度就是流体本身速度 \(u\) 通常对应涡波或熵波。

（3）\(\lambda_3=u+a\)

表示一个以相对流体速度 \(+a\) 传播的波，在固定坐标系中其传播速度为 \(u+a\) 通常对应右行声波。

1.4 偏微分方程的数学性质 ❿

示例：二维欧拉方程

以原始变量

\[ \mathbf W= \begin{pmatrix} \rho\\ u\\ v\\ p \end{pmatrix} \]

为未知量，二维非定常可压 Euler 方程可写成

\[ \frac{\partial \mathbf W}{\partial t} + A\frac{\partial \mathbf W}{\partial x} + B\frac{\partial \mathbf W}{\partial y} =0. \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❿

示例：二维欧拉方程

\[ \frac{\partial \mathbf W}{\partial t} + A\frac{\partial \mathbf W}{\partial x} + B\frac{\partial \mathbf W}{\partial y} =0. \]

其中

\[ A= \begin{pmatrix} u & \rho & 0 & 0\\ 0 & u & 0 & 1/\rho\\ 0 & 0 & u & 0\\ 0 & \gamma p & 0 & u \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} v & 0 & \rho & 0\\ 0 & v & 0 & 0\\ 0 & 0 & v & 1/\rho\\ 0 & 0 & \gamma p & v \end{pmatrix}. \]

这里：

• \(\rho\) 为密度，\(u,v\) 分别为 \(x,y\) 方向速度，\(p\) 为压强，
• \(\gamma\) 为比热比，音速为 \(a=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}\)

1.4 偏微分方程的数学性质 ❿

示例：二维欧拉方程

为了分析 \(x\) 与 \(t\) 这两个自变量对应的方程性质，把关于 \(y\) 的项移到右端，当作“源项”处理，则有

\[ \frac{\partial \mathbf W}{\partial t}+ A\frac{\partial \mathbf W}{\partial x}= -\,B\frac{\partial \mathbf W}{\partial y}. \]

此时只需考察矩阵 \(A\) 的特征值。

特征方程为

\[ |A-\lambda I|=0. \]

求解可得 4 个特征值

\[ \lambda_1=u-a,\qquad \lambda_2=u,\qquad \lambda_3=u,\qquad \lambda_4=u+a. \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❿

示例：二维欧拉方程

由于

\[ a=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} \]

在物理上是实数，因此上述四个特征值全为实数。

而且矩阵 \(A\) 具有 4 个线性无关特征向量，所以在 \(x\!-\!t\) 平面上，二维非定常 Euler 方程是

双曲型

其特征方向对应为

• \(u-a\)：左行声波，
• \(u\)：两条重根，对应涡量/熵类扰动，
• \(u+a\)：右行声波。

1.4 偏微分方程的数学性质 ❿

示例：二维欧拉方程

同理，把关于 \(x\) 的项移到右端，当作源项处理，则有

\[ \frac{\partial \mathbf W}{\partial t}+ B\frac{\partial \mathbf W}{\partial y}= -\,A\frac{\partial \mathbf W}{\partial x}. \]

这时只需考察矩阵 \(B\) 的特征值。特征方程为

\[ |B-\lambda I|=0. \]

求解可得

\[ \lambda_1=v-a,\qquad \lambda_2=v,\qquad \lambda_3=v,\qquad \lambda_4=v+a. \]

这些特征值同样都是实数，并且有完整特征向量组，因此在 \(y\!-\!t\) 平面上，二维非定常 Euler 方程也是双曲型

1.4 偏微分方程的数学性质 ❿

示例：二维欧拉方程

这说明二维非定常 Euler 方程在“时间—空间”平面中具有典型的传播型特征：

• 扰动不会瞬间传遍全场，
• 而是沿有限速度传播，
• 传播速度由特征值决定。

因此，它本质上描述的是波的传播问题，属于典型的双曲型方程组。

1.4 偏微分方程的数学性质 ❿

示例：二维欧拉方程

若略去时间导数项，就得到二维定常 Euler 方程

\[ A\frac{\partial \mathbf W}{\partial x} + B\frac{\partial \mathbf W}{\partial y} =0. \]

若 \(A\) 可逆，则可写成

\[ \frac{\partial \mathbf W}{\partial x} + C\frac{\partial \mathbf W}{\partial y} =0, \qquad C=A^{-1}B. \]

特征值满足

\[ |C-\lambda I|=0 \]

解得

\[ \lambda_{1,2}=\frac{v}{u},\qquad \lambda_{3,4}=\frac{uv\pm a\sqrt{u^2+v^2-a^2}}{u^2-a^2}. \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❿

示例：二维欧拉方程

\[ u^2+v^2>a^2 \quad\Longleftrightarrow\quad M>1 \]

\(\lambda_{3,4}\) 为实数，方程为双曲型；

\[ u^2+v^2<a^2 \quad\Longleftrightarrow\quad M<1 \]

\(\lambda_{3,4}\) 为共轭复数，方程为椭圆－双曲型；

\[ u^2+v^2=a^2 \quad\Longleftrightarrow\quad M=1 \]

出现重根，方程为抛物－双曲型。

因此，二维定常 Euler 方程是混合型方程。

👉 这一特点，给数值求解定常的 Euler 方程带来了很大困难，目前很少有人直接求解这种定常的 Euler 方程。

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓫

为什么要区分方程类型？

👉 不同类型 PDE：

• 具有不同数学性质
• 对应不同物理行为
• 需要不同数值方法

关键概念

• Region of influence（影响域）
• Domain of dependence（依赖域）

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓫

基本要求：Well-posed

定义：

• 解存在、唯一、对初始/边界条件连续依赖
• 👉 否则：数值解不稳定、无物理意义

✔ 示例：

• 超声速钝头体问题
  • 👉 空间推进求解 → ill-posed
    
  • 👉 时间推进求解 → well-posed

第1章 基本方程及其性质 — 小结

如何把真实流动问题转化为可以计算的问题？

整体逻辑可以概括为三步：

物理建模

• 连续介质假设
• 牛顿流体假设（Stokes 假设）

控制方程建立

• 质量守恒（连续方程）
• 动量守恒（Navier–Stokes）
• 能量守恒（Energy）

第1章 基本方程及其性质 — 小结

数值求解框架

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}_v + \mathbf{S} \]

CFD的标准流程：

1. 建立物理模型
   
2. 写出控制方程
   
3. 给定初始/边界条件
   
4. 数值离散
   
5. 求解代数方程组
   
6. 结果分析与验证

第1章 基本方程及其性质 — 小结

PDE类型

方程类型 = 信息传播方式

三类方程对比

不应不同的数值方法和初边值条件！

第1章 基本方程及其性质 - 本章作业

📘 作业：一维 Euler 方程类型分析

针对基本方程

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x}=0 \]

\[ \mathbf{U}= \begin{pmatrix} \rho\\ \rho u\\ \rho E \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{F}= \begin{pmatrix} \rho u\\ \rho u^2+p\\ (\rho E+p)u \end{pmatrix} \]

\[ p=(\gamma-1)\left(\rho E-\frac{1}{2}\rho u^2\right) \]

通过推导并分析 Jacobi 矩阵 \(A\) 判断方程类型（椭圆 / 抛物 / 双曲）

\[ A=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{U}} \]

提交时间：4月27日（课代表收齐后统一提交）