流体力学核心贯通课 II

2025–2026 学年第二学期

北京理工大学 空天科学与技术学院

任杰

课程安排

• 课程出勤：占总成绩10%
• 平时作业：占总成绩10%
• 大作业：占总成绩15%
• 期末考试：占总成绩65%

大作业题目方向（任选其一）

1. 一维激波管问题（Shock Tube）
2. 二维方腔流（Lid-driven cavity flow）
3. 二维势流绕圆柱问题
4. 二维对流扩散问题

第1章 基本方程及其性质

参考书

1. John D. Anderson Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications
   McGraw-Hill, 1995

2. 任玉新 陈海昕
   计算流体力学基础 清华大学出版社，2006

3. 张德良
   计算流体力学教程 高等教育出版社，2010

4. 蔡庆东
   计算流体动力学 北京大学本科生研究生专业基础课讲义，2018

真正理解 CFD 的最好方式，是自己实现数值算法并运行计算 - John D. Anderson

回忆：哪些流动具有精确解？

1. 平行剪切流（Couette Flow）

两平行平板之间的粘性流体流动，其中：

• 下壁面静止
• 上壁面以恒定速度运动
• 压力梯度为零

控制方程

\[ \mu \frac{d^2 u}{dy^2}=0 \]

解析解

\[ u(y)=U\frac{y}{h} \]

• 线性速度分布

回忆：哪些流动具有精确解？

2. 平板泊肃叶流（Plane Poiseuille Flow）

3. 圆管泊肃叶流（Hagen–Poiseuille Flow）

\[ -\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} +\mu \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left(r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\right)=0 \]

4. Stokes 第一问题（无限流体上方平板突然开始运动）

\[ u(y,t)=U\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{y}{2\sqrt{\nu t}}\right)\right] \]

5. Stokes 第二问题（振荡平板）

6. Taylor–Green 涡（二维周期性涡流）

• 验证 Navier–Stokes 求解器、验证耗散

7. Lamb–Oseen 涡

8. Blasius 边界层（半解析解、自相似解）

回顾：计算流体力学

在现代科学与工程中，流体力学问题通常具有以下特点：

• 几何结构复杂
• 控制方程高度非线性
• 伴随多种物理过程（湍流、化学反应、相变等）

这些问题往往无法通过解析方法求解，因此需要借助计算方法进行研究。

计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）是利用数值方法与计算机技术求解流体力学控制方程的一门学科。

其核心思想是通过数值离散的方法，将连续的偏微分方程转化为可在计算机上求解的代数方程组，从而获得流场中的速度、压力、温度等物理量分布。

流体力学研究的三种方法

在流体力学的发展过程中，主要形成了三种互补的研究方法：

1. 理论分析（Theoretical Analysis）
   通过数学方法对流动方程进行解析求解，从而揭示基本物理规律。

2. 实验研究（Experimental Methods）
   通过风洞、水槽等实验装置直接测量流动现象。

3. 数值模拟（Computational Methods）
   通过计算机求解流体控制方程，获得流动的详细信息。

传统上，理论与实验构成流体力学研究的两大支柱。然而随着计算机技术的发展，计算方法逐渐成为第三种重要研究手段。

因此，在现代工程实践中，流体问题通常通过 理论、实验与计算三者结合 的方式进行研究。

CFD在工程中的作用

随着计算能力的迅速提升，CFD 已成为工程设计和科学研究中的重要工具。典型应用包括：

• 航空航天
  • 飞机气动设计、再入气动加热、火箭喷流
• 汽车工程
  • 车辆气动性能、发动机燃烧
• 能源系统
  • 燃气轮机、核反应堆冷却
• 环境工程
  • 大气污染扩散、城市风环境

CFD在工程中的作用 ❶

F1方程式赛车的CFD模拟

CFD在工程中的作用 ❷

Porsche 911的DES模拟

CFD在工程中的作用 ❸

埃菲尔铁塔的DDES和URANS模拟

CFD在工程中的作用 ❹

旋翼无人机叶片启动过程的数值模拟

CFD在工程中的作用 ❺

风力发电场的数值模拟

CFD在工程中的作用 ❻

数值模拟旋转爆轰发动机非预混喷注系统

CFD在工程中的作用 ❼

超音速喷流的数值模拟

CFD在工程中的作用 ❽

大型鱼群的集体行为

CFD在工程中的作用 ❾

超音速圆柱阵列流动数值模拟

CFD在工程中的作用 ❿

湍流边界层数值模拟

CFD在工程中的作用 ⓫

CFD 的一个重要优势是可以提供完整的流场信息，例如

• 速度场、压力场、温度场（这些信息在实验中往往难以全部获得）

• 流体力学界的“视觉大片发布会”（APS主办，每年一届）
  
• 全球科研团队参赛，比的不只是理论，还有“谁拍得更好看”
  
• 评审标准：既要科学过硬，也要颜值在线
  
• 优秀作品可拿 Milton Van Dyke Award / Gallery Winner（相当于流体界“奥斯卡”）
  
• 还能发在 Physical Review Fluids（顺便再加一篇高水平论文）
  
• 本质：让大家看到——流体不仅难算，还很好看

1.1 控制方程 ❶

连续方程（Continuity Equation）

实体形式（向量形式）：

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0 \]

笛卡尔坐标系分量形式（Einstein 求和约定）：

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u_i)}{\partial x_i}=0\]

不可压缩流体（\(\rho=\text{const}\)）：

\[ \frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0 \]

Einstein 求和约定（Einstein Summation Convention）？

1.1 控制方程 ❷

Einstein 求和约定（Einstein Summation Convention）

在指标记号中，如果某个指标在同一项中 重复出现两次，则默认对该指标在所有空间方向求和，而不必显式写出求和符号 \(\sum\)。例1：在三维空间中

\[a_i b_i=\sum_{i=1}^{3}a_i b_i\]

例2：速度散度

\[\frac{\partial u_i}{\partial x_i}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\]

优点

• 表达式 更紧凑
• 统一表示 三维方程
• 便于 理论推导与数值分析

1.1 控制方程 ❸

动量方程（Momentum Conservation）

\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}\mathbf{u}) = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \rho \mathbf{f} \]

笛卡尔坐标系分量形式为

\[\frac{\partial (\rho u_i)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u_i u_j)}{\partial x_j}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j}+\rho f_i\]

对于牛顿流体，

\[\tau_{ij}=\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)-\frac{2}{3}\mu\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\delta_{ij}\]

• \(\tau_{ij}\) 为粘性应力张量，其中 \(\delta_{ij}\) 为 Kronecker delta

• 为何会出现 \(2/3\) ？

1.1 控制方程 ❹

Stokes 假设

各向同性牛顿流体中，黏性应力与速度梯度线性相关：

\[ \tau_{ij} = 2\mu S_{ij} + \lambda (\nabla \cdot \mathbf{u}) \delta_{ij} \]

其中

\[ S_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) \]

• \(\mu\)：剪切黏度
  
• \(\lambda\)：体黏度（第二黏度）
• Stokes 假设：\(\lambda = -\frac{2}{3}\mu\)

1.1 控制方程 ❺

Stokes 假设

关键要求：黏性应力不包含各向同性部分（由压力单独承担）

应力分解

\[ \sigma_{ij} = -p\delta_{ij} + \tau_{ij} \]

• \(-p\delta_{ij}\)：各向同性压力
  
• \(\tau_{ij}\)：偏差应力（粘性应力，仅描述形变）

👉 单位张量 \(\delta_{ij}\) 是唯一各向同性二阶张量，其强度由“迹”决定

1.1 控制方程 ❻

Stokes 假设

\[ \boldsymbol{\tau}=\begin{bmatrix} 2\mu\dfrac{\partial u}{\partial x}+\lambda\nabla\cdot\mathbf{u} & \mu\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial v}{\partial x}\right) & \mu\left(\dfrac{\partial u}{\partial z}+\dfrac{\partial w}{\partial x}\right)\\[1.0em] \mu\left(\dfrac{\partial v}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial y}\right) & 2\mu\dfrac{\partial v}{\partial y}+\lambda\nabla\cdot\mathbf{u} & \mu\left(\dfrac{\partial v}{\partial z}+\dfrac{\partial w}{\partial y}\right)\\[1.0em] \mu\left(\dfrac{\partial w}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial z}\right) & \mu\left(\dfrac{\partial w}{\partial y}+\dfrac{\partial v}{\partial z}\right) & 2\mu\dfrac{\partial w}{\partial z}+\lambda\nabla\cdot\mathbf{u} \end{bmatrix} \]

其迹为： \[ \tau_{kk} = (2\mu + 3\lambda)(\nabla \cdot \mathbf{u}) \]

Stokes 假设令

\[ \tau_{kk} = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{2}{3}\mu \]

1.1 控制方程 ❼

能量方程（Energy Conservation）

\[ \frac{\partial (\rho E)}{\partial t} + \nabla \cdot \left[(\rho E + p)\mathbf{u}\right] = \nabla \cdot (\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{u}) - \nabla \cdot \mathbf{q} + \rho \mathbf{f}\cdot\mathbf{u} \]

分量形式

\[ \frac{\partial (\rho E)}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[(\rho E+p)u_j\right]=\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\tau_{ij}u_i\right)-\frac{\partial q_j}{\partial x_j}+\rho f_i u_i \]

其中

• \(E\) 表示什么？

1.1 控制方程 ❽

CFD常用守恒形式方程

在计算流体力学中，三大守恒律通常写成统一形式：

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}_v + \mathbf{S} \]

对于三维可压缩流

\[ \mathbf{U}= \begin{bmatrix} \rho\\ \rho u_1\\ \rho u_2\\ \rho u_3\\ \rho E \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{F}_j= \begin{bmatrix} \rho u_j\\ \rho u_1u_j+p\delta_{1j}\\ \rho u_2u_j+p\delta_{2j}\\ \rho u_3u_j+p\delta_{3j}\\ (\rho E+p)u_j \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{F}_{v,j}= \begin{bmatrix} 0\\ \tau_{1j}\\ \tau_{2j}\\ \tau_{3j}\\ \tau_{ij}u_i-q_j \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{S}= \begin{bmatrix} 0\\ \rho f_1\\ \rho f_2\\ \rho f_3\\ \rho f_i u_i \end{bmatrix} \]

其中

• 热流：\(q_j=-\kappa\frac{\partial T}{\partial x_j}\).

• \((\nabla \cdot \mathbf{F})=\frac{\partial F_{k j}}{\partial x_j}\)，\(k=1,\dots,5\)（方程编号），\(j=1,2,3\)（空间方向）

1.1 控制方程 ❾

守恒形式方程的意义

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}_v + \mathbf{S} \]

该统一形式具有三个重要特点：

• 守恒性：适用于有限体积法
  
• 统一结构：三大方程可同时离散
  
• 便于构造数值通量：如Riemann求解器、Godunov方法等

因此这是 现代CFD代码（OpenFOAM、SU2、Fluent等）普遍采用的基本方程形式。

1.1 控制方程 ❿

评注

1.1 控制方程 ⓫

CFD的基本步骤

1. 建立物理模型
   

2. 写出控制方程（Navier–Stokes 方程等）

3. 给定初始条件与边界条件
   

4. 对方程进行数值离散
   

5. 求解离散方程组
   

6. 对计算结果进行分析与验证

1.1 控制方程 ⓬

CFD中常用的分量形式方程

\[ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x}+\frac{\partial \mathbf{G}}{\partial y}+\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial z}= \mathbf{J} \]

1.1 控制方程 ⓭

CFD中常用的分量形式方程

x方向通量（Flux in x）

\[ \mathbf{F}= \begin{bmatrix} \rho u\\ \rho u^2 + p - \tau_{xx}\\ \rho uv - \tau_{xy}\\ \rho uw - \tau_{xz}\\ \rho u\left(e+\frac{V^2}{2}\right) + pu - q_x - u\tau_{xx} - v\tau_{xy} - w\tau_{xz} \end{bmatrix} \]

y方向通量（Flux in y）

\[ \mathbf{G}= \begin{bmatrix} \rho v\\ \rho uv - \tau_{yx}\\ \rho v^2 + p - \tau_{yy}\\ \rho vw - \tau_{yz}\\ \rho v\left(e+\frac{V^2}{2}\right) + pv - q_y - u\tau_{yx} - v\tau_{yy} - w\tau_{yz} \end{bmatrix} \]

1.1 控制方程 ⓮

CFD中常用的分量形式方程

z方向通量（Flux in z）

\[ \mathbf{H}= \begin{bmatrix} \rho w\\ \rho uw - \tau_{zx}\\ \rho vw - \tau_{zy}\\ \rho w^2 + p - \tau_{zz}\\ \rho w\left(e+\frac{V^2}{2}\right) + pw - q_z - u\tau_{zx} - v\tau_{zy} - w\tau_{zz} \end{bmatrix} \]

源项（Source Term）

\[ \mathbf{J}= \begin{bmatrix} 0\\ \rho f_x\\ \rho f_y\\ \rho f_z\\ \rho(f_x u + f_y v + f_z w) + \dot{q} \end{bmatrix} \]

1.1 控制方程 ⓯

CFD真正求解的变量

1.2 激波问题 ❶

激波处：守恒量 vs 通量的连续性

• 守恒量一般不连续
  
• 通量是连续的（满足守恒律）

守恒量在激波处

• 密度 \(\rho\) ❌ 不连续
  
• 速度 \(u\) ❌ 不连续
  
• 压力 \(p\) ❌ 不连续
  
• 温度 \(T\) ❌ 不连续

👉 激波本质就是不连续面

1.2 激波问题 ❷

通量（F）在激波处

以一维为例：

质量守恒：

\[ \rho_1 u_1 = \rho_2 u_2 \]

动量守恒：

\[ \rho_1 u_1^2 + p_1 = \rho_2 u_2^2 + p_2 \]

能量守恒：

\[ \rho_1 u_1\left(e_1 + \frac{u_1^2}{2}\right) + p_1 u_1= \rho_2 u_2\left(e_2 + \frac{u_2^2}{2}\right) + p_2 u_2 \]

👉 本质上：

\[ F(U_1) = F(U_2) \]

✔ 即：通量在激波两侧相等（连续）

1.2 激波问题 ❸

为什么会这样？

守恒形式积分后：

\[ \frac{d}{dx}F(U)=0 \quad \Rightarrow \quad F = \text{常数} \]

• 激波虽是“跳跃”，但： 守恒律必须成立
• 守恒量：可以“跳变”（状态改变）
  
• 通量：必须“守恒”（流量不丢失）

👉 类比：

• 水密度可以变，但单位时间通过的质量必须一样
  
• 激波是“状态不连续”，但“通量连续”
• 这正是守恒形式在CFD中如此重要的根本原因

1.2 激波问题 ❹

介绍：两种激波处理思路

Shock Capturing（激波捕捉）

• 激波自然形成
  
• 简单，但有数值扩散

Shock Fitting（激波装配）

• 显式追踪激波
  
• 精确，但复杂

1.3 边界条件 ❶

边界条件的作用

• 决定控制方程的具体解
  
• 是流动问题的“真正驱动力”
  
• CFD中：边界条件处理至关重要

1.3 边界条件 ❷

边界条件举例

1.4 偏微分方程的数学性质 ❶

核心问题

• PDE 为什么要分类？
• 不同类型 PDE 有什么物理意义？
• 为什么 CFD 数值方法必须“因方程而异”？

👉 核心结论：

方程的数学类型 = 流动的信息传播方式

1.4 偏微分方程的数学性质 ❷

考虑二维准线性方程组

\[ a_1 \frac{\partial u}{\partial x} + b_1 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_1 \frac{\partial v}{\partial x} + d_1 \frac{\partial v}{\partial y} = f_1 \]

\[ a_2 \frac{\partial u}{\partial x} + b_2 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_2 \frac{\partial v}{\partial x} + d_2 \frac{\partial v}{\partial y} = f_2 \]

定义全微分：

\[ du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy \]

\[ dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❸

方程组的矩阵形式

方程组 \[ a_1 \frac{\partial u}{\partial x} + b_1 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_1 \frac{\partial v}{\partial x} + d_1 \frac{\partial v}{\partial y} = f_1 \]

\[ a_2 \frac{\partial u}{\partial x} + b_2 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_2 \frac{\partial v}{\partial x} + d_2 \frac{\partial v}{\partial y} = f_2 \]

写为矩阵形式：

\[ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ dx & dy & 0 & 0 \\ 0 & 0 & dx & dy \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_1 \\f_2 \\du \\dv \end{bmatrix} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❹

使用 Cramer 法则，令

\[ [A] =\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ dx & dy & 0 & 0 \\ 0 & 0 & dx & dy \end{bmatrix} \]

将第一列替换为右端项：

\[ [B] = \begin{bmatrix} f_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ f_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ du & dy & 0 & 0 \\ dv & 0 & dx & dy \end{bmatrix} \]

则：

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{|B|}{|A|} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❺

几何意义（关键！）

1.4 偏微分方程的数学性质 ❻

几何意义（关键！）

1.4 偏微分方程的数学性质 ❼

特征线的定义

👉 当：

\[ |A| = 0 \]

对应方向：特征方向（Characteristic direction）

对应曲线：特征线（Characteristic curve）

物理含义

在特征线上：

• 导数不唯一（indeterminate）
• 解可能出现：
  • 不连续
  • 奇异性

👉 本质：PDE 在该方向上“退化”

1.4 偏微分方程的数学性质 ❽

展开行列式：

\[ |A|=(a_1c_2 - a_2c_1)(dy)^2- (a_1d_2 - a_2d_1 + b_1c_2 - b_2c_1) dx\,dy+ (b_1d_2 - b_2d_1)(dx)^2 = 0 \]

令 \[ a = (a_1c_2 - a_2c_1), \quad b = - (a_1d_2 - a_2d_1 + b_1c_2 - b_2c_1), \quad c = (b_1d_2 - b_2d_1) \] 得到 \[ a \left(\frac{dy}{dx}\right)^2+ b \left(\frac{dy}{dx}\right)+ c = 0 \]

判别式：

\[ D = b^2 - 4ac \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ❾

• \(D > 0\)：两条特征线、双曲型（Hyperbolic）
• \(D = 0\)：一条特征线、抛物型（Parabolic）
• \(D < 0\)：零条特征线、椭圆型（Elliptic）

物理本质对比

1.4 偏微分方程的数学性质 ❿

特征值方法（Eigenvalue Method）

方程组 \[ a_1 \frac{\partial u}{\partial x} + b_1 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_1 \frac{\partial v}{\partial x} + d_1 \frac{\partial v}{\partial y} = f_1 \]

\[ a_2 \frac{\partial u}{\partial x} + b_2 \frac{\partial u}{\partial y}+ c_2 \frac{\partial v}{\partial x} + d_2 \frac{\partial v}{\partial y} = f_2 \]

为简化分析，令\(f_1=f_2=0\)，写为向量形式：

\[ [K]\frac{\partial W}{\partial x} + [M]\frac{\partial W}{\partial y} = 0 \]

其中：

• \([K], [M]\)：\(2\times2\) 系数矩阵；\(W = \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\)

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓫

特征值方法（Eigenvalue Method）

左乘 \([K]^{-1}\)：

\[ \frac{\partial W}{\partial x} + [N]\frac{\partial W}{\partial y} = 0 \]

其中：\([N] = [K]^{-1}[M]\)

👉 方程类型由矩阵 \([N]\) 的特征值决定

\[ |[N] - \lambda [I]| = 0 \]

判定规则（证明见 Whitham, Gerald Beresford. Linear and nonlinear waves. John Wiley & Sons, 2011.）

• 特征值全为实数 → 双曲型
• 特征值全为复数 → 椭圆型
• 特征值退化（重根） → 抛物型

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓬

示例：二维无旋可压流

线性化后方程：

\[ (1 - M_\infty^2)\frac{\partial u'}{\partial x} + \frac{\partial v'}{\partial y} = 0 \]

\[ \frac{\partial u'}{\partial y} - \frac{\partial v'}{\partial x} = 0 \]

写成矩阵形式

\[ [K] = \begin{bmatrix} 1 - M_\infty^2 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad [M] = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

\[ [N] = [K]^{-1}[M] =\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{1 - M_\infty^2} \\-1 & 0\end{bmatrix} \]

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓭

求特征值

\[ |[N] - \lambda [I]| = 0 \]

展开：

\[ \lambda^2 + \frac{1}{1 - M_\infty^2} = 0 \Rightarrow \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{M_\infty^2 - 1}} \]

• ✔ 超声速（\(M_\infty > 1\)）：\(\lambda\) 为实数、两条特征线、👉 双曲型（Hyperbolic）
• ✔ 亚声速（\(M_\infty < 1\)）：\(\lambda\) 为虚数、无实特征线、👉 椭圆型（Elliptic）
• 特征值 = 特征线斜率
• 流动类型由马赫数决定
  • 超声速 → 信息沿特征线传播（有方向性）
  • 亚声速 → 信息全局耦合

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓮

特征值方法总结

① 写成矩阵形式
② 构造 \([N] = [K]^{-1}[M]\)
③ 求特征值
④ 判定类型

评注

• 实际问题中： 特征值可能既有实数又有复数
• 此时系统呈现： 👉 混合型（Mixed type）
• 典型例子：跨声速流动（Transonic flow）

👉 结论：PDE 分类并非总是“纯类型”

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓯

为什么要区分方程类型？

👉 不同类型 PDE：

• 具有不同数学性质
• 对应不同物理行为
• 需要不同数值方法

关键概念

• Region of influence（影响域）
• Domain of dependence（依赖域）

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓰

双曲型方程

假设你站在图中的点 \(P\)，面向 \(x\) 正方向：

• 向左转头看到的那条特征线 → 左行特征线
  
• 向右转头看到的那条特征线 → 右行特征线

这些特征线的一个重要意义在于：

👉 区域 I 被称为点 \(P\) 的影响域（Region of Influence）

• 如果在点 \(P\) 施加一个微小扰动
  
• 该扰动只会传播到图中区域 I 内的所有点
  
• 而不会影响区域 I 之外的区域

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓱

双曲型方程

👉 区域 III 被称为点 \(P\) 的依赖域（Domain of Dependence）

现在将通过点 \(P\) 的两条特征线向后延伸，直到与 \(y\) 轴相交：

• 在 \(y\) 轴上截得区间 \(ab\)
• 在 \(y\) 轴（\(x=0\)）上给定边界条件（如 \(u, v\) 已知），则可以从该边界出发，沿 \(x\) 方向逐步推进（marching）求解

👉 典型的双曲型方程

• 定常无粘超声速流动
• 非定常无粘流动（重要！几乎是实际问题）

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓲

双曲型方程：非定常无粘流动

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓳

抛物型方程

哪些方程属于抛物型方程？

1.4 偏微分方程的数学性质 ⓴

基本要求：Well-posed

定义：

• 解存在、唯一、对初始/边界条件连续依赖
• 👉 否则：数值解不稳定、无物理意义

✔ 示例：

• 超声速钝头体问题
  • 👉 空间推进求解 → ill-posed
    
  • 👉 时间推进求解 → well-posed